【信息光学】几个重要推论

1. 光波通过孔径、半透明物体、遮挡面等光学元件时，其幅度收到元件透过率影响。

$U_o(x,y) = U_i(x,y) \cdot t(x,y)$

而在频域，则表现为入射光场频谱与透过率函数频谱成卷积关系。

2. 孔径的周期性排列，由阵列定理，其透过率表达式为单孔径透过率函数与向各位置位移的δ函数的卷积，即：

$t(x,y) = t(x,y) * \sum_{n=1}^N \delta (x-\xi_n,y-\eta_n)$

3. 几种常见孔径的透过率函数及其频谱：

• 矩形孔，$x$ 方向长度为 $a$，$y$ 方向长度为 $b$
  透过率函数：

$t(x,y) = rect(\frac{x}{a}) \cdot rect(\frac{y}{b})$

频谱为：

$T(\frac{x}{\lambda z}, \frac{y}{\lambda z}) = ab \cdot \mathrm{sinc}(a\frac{x}{\lambda z} ) \cdot \mathrm{sinc}(b\frac{y}{\lambda z})$

• 透镜，二次曲面
  透镜可看做特殊的孔径遮挡物体，其透过率很高，通过时会产生一个随空间位置呈现二次型分布的相移。
  透镜的等效透过率函数：
  注：通常，输入为发散球面波，输出为会聚球面波。

$\begin{aligned} t(x,y) &= \frac{U'(x,y)}{U(x,y)} \\ &= \Large{ \frac{ A e^{-jkd_i}\cdot e^{-\frac{jk}{2d_i}[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2]} }{Ae^{jkd_o}\cdot e^{\frac{jk}{2d_o}[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2]}}} \\ &= \Large{e^{-jk(d_i+d_o)} \cdot e^{-\frac{jk}{2}(\frac{1}{d_i}+\frac{1}{d_o})[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2]} } \end{aligned}$

其中 $U'(x,y)$ 为透射光波， $U(x,y)$ 为入射光波，以相距透镜，$\displaystyle e^{-jk(d_i+d_o)}$ 不随空间位置而发生变化，称为常数位相因子。