【数学】现代工程学数学基础

dexfire · 2020-3-15 · 次阅读

【数学】现代工程学数学基础

极限与连续

微分

多元函数微分法

积分

反常积分

信号与系统、傅里叶变换中常用的无穷积分：

F{1}=∫−∞∞1⋅e−jwtdt=−1jwe−jwt∣t=−∞t=∞ \begin{aligned} \mathscr{F}\left\{ 1 \right\} &= \int_{-\infty}^{\infty} 1 \cdot e^{-jwt}dt \\ &= -\frac{1}{jw}e^{-jwt} \Big| ^{t=\infty} _{t=-\infty} \end{aligned}

向量微分

复变函数

线性代数

无穷级数

泰勒级数

数学中，泰勒级数用于展开任意函数，常用于复杂函数的近似计算，如正弦函数 y(x)=sinxy(x) = \sin x，由英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）于1715年发表.

  • 在自变量零点处求得的泰勒级数又称麦克劳林级数，以英格兰数学家柯林·麦克劳林的名字命名。
  • 泰勒级数在近似计算中有着广泛应用。
  • 在复变函数的求解中，也常常用到泰勒展开的几种常用形式。

f(x)=∑n=0∞f(n)(x0)n!(x−x0)n=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)(x−x0)22!+...+f(n)(x0)(x−x0)nn!+...\begin{aligned} f(x) &= \sum_{n=0} ^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\left(x-x_0\right)^n \\ &= f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)(x-x_0)^2}{2!}+...+ \frac{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!}+... \end{aligned}

  • f(x)=1+xf(x) = \sqrt{1+x}

f(x)=f(0)+f′(0)(x−0)+f(2)(x0)x22!+f(3)x33!+...=1+0+(12(1+0)−121!x)+(−14(1+0)−322!x2)+(38(1+0)−523!x3)+...=1+12x−18x2+116x3+...\begin{aligned} f(x) &= f(0) + f'(0)(x-0) + \frac{f^{(2)}(x_0)x^2}{ {2!}}+\frac{f^{(3)}x^3}{3!}+... \\ &= \sqrt{1+0} + \left(\frac{1}{2}\frac{(1+0)^{-\frac{1}{2}}}{1!}x\right) + \left( -\frac{1}{4}\frac{(1+0)^{-\frac{3}{2}}}{2!} x^2\right) + \left( \frac{3}{8} \frac{(1+0)^{-\frac{5}{2}}}{3!}x^3 \right) +... \\ &= 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3+... \end{aligned}

  • y=sinxy = \sin x

taylor-series

傅里叶级数

傅里叶变换对

傅里叶变换：

F{f(t)}=∫−∞∞f(t)⋅e−jwtdt=∫−∞∞f(t)⋅e−j2πwtdt=F(jw)=F(j2πf) \begin{aligned} \mathscr{F} \left\{ f(t) \right \} &= \int_{-\infty} ^{\infty} f(t) \cdot e^{-jwt} \mathrm{d}t \\ &= \int_{-\infty} ^{\infty} f(t) \cdot e^{-j2\pi wt} \mathrm{d}t \\ &= F(jw) \\ &= F(j 2 \pi f) \end{aligned}

傅里叶反变换：

F−1{F(jw)}=∫−∞∞F(jw)⋅ejwtdw\begin{aligned} \mathscr {F^{-1}} \left\{ F(jw) \right\} &= \int_{-\infty} ^{\infty} F(jw) \cdot e^{jwt} \mathrm{d}w \\ \end{aligned}

常用的傅里叶变换对
原函数 傅里叶变换 备注
11 2πδ(jw)2\pi\delta(jw)
δ(t)\delta(t) 11
  • \boxed{1\ \ \text{>>}\ \ 2\pi\delta(jw)}
    通常由 (2)(2) 式反推 (1)(1) 式，δ(t)\delta(t) 的傅里叶变换是 11，所以 F(jw)=1F(jw) = 1 的傅里叶反变换是 δ(t)\delta(t)，即12π∫−∞∞1⋅ejwtdw=δ(t)\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty} 1 \cdot e^{jwt} dw = \delta(t)，又由积分的对称性（从−∞-\infty到∞\infty），所以对 ejwte^{jwt} 积分与 对e−jwte^{-jwt} 积分并没有数值上的区别，所以∫−∞∞1⋅e−jwtdt=2πδ(jw)\int_{-\infty}^{\infty}1 \cdot e^{-jwt}dt = 2\pi \delta(jw)。
    • \tag{1} \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}1 \cdot e^{-jwt}dt &= \int_{-\infty}^{0} e^{-jwt}dt + \int_{0}^{\infty}e^{-jwt}dt \\ &= -\frac{1}{jw}e^{-jwt}\Big|_{-\infty}^{0}+ -\frac{1}{jw}e^{-jwt}\Big|^{\infty}_0 \\ &= 2\pi\delta(jw) \end{aligned}
    • \tag{2} \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \delta(jw) \cdot e^{jwt}dw = \frac{1}{2\pi}
  • \boxed{\delta(t)\ \ \text{>>}\ \ 1}
    • \tag{3} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)\cdot e^{-jwt}dt = 1
    • \tag{4} \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^{\infty} 1 \cdot e^{jwt} dw = \delta(t)
FAQ
  1. 为什么用 jwjw 作为傅里叶变换表达式的自变量而不是 ww？

傅里叶变换

傅里叶变换

拉普拉斯变换

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