亥姆霍兹方程是如何推导出球面波表达式的？

首先写下球面坐标系下的亥姆霍兹方程：

\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2+\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \cdot \frac{\partial u}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2u}{\partial\varPhi^2}+k^2u=0

由于是球面坐标系，利用球谐函数分离变量作试探解，即代入下式到方程中：

u=R(r)Y ^m _l (\theta,\text{\o})

得到径向的方程为：

$\frac{1}{r^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^2\frac{\mathrm{d}R(r)}{\mathrm{d}r}\right) + \left[k^2-\frac{l(l+1)}{r^2}\right]R(r)=0$

作一次标度变换，$x=kr,\ y(x)=R(r)$ ，得到球贝塞尔方程：

$\frac{1}{x^2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x\frac{dy}{dx}\right)+\left[1-\frac{l(l+1)}{x^2}\right]y=0$

再作变换 $y(x)=\LARGE \frac{v(x)}{\sqrt{x}}$ ，代回球贝塞尔方程，得到：

$\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\left(x\frac{dv}{dx}\right)+\left[1-\frac{\left(l+1/2\right)^2}{x^2}\right]v = 0$

这就是柱坐标和平面极坐标系下常见的贝塞尔方程，不过在柱坐标下常见的是整数阶的贝塞尔函数，而这里是 $\displaystyle l+ {\frac{1}{2}}$ 阶的贝塞尔方程，
显然可以定义：

• 球贝塞尔函数：

$j_l(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}J_{l+1/2}\left(x\right)$

• 球诺依曼函数：

$n_l^{(1,2)}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}N_{l+1/2}(x)$

注：此函数在 $x=0$ 处是发散的。

• 球汉克尔函数：

$h_l^{(1,2)}(x)=j_l(x)\mp \mathrm{i} \cdot n_l(x)$

注：贝塞尔函数 $J$ ，诺依曼函数 $N$ 都是贝塞尔函数方程的解，可以通过级数展开来获得级数解，对于 $J$ ，直接在原点处展开就可以，对于 $N$ 要通过 $J$ 进行构造。这两者是贝塞尔方程的两个线性无关解。

由此，亥姆霍兹方程的一般解就是：

u=\mathrm{\sum^\infty_{l=0}\sum^l_{m=-l}}A_{lm}j_l(kr)Y_l^m(\theta,\text{\o})+\mathrm{\sum^\infty_{l=0}\sum^l_{m=-l}}B_{lm}n_l(kr)Y_l^m(\theta,\text{\o})

$A,\ B$ 由方程的边界条件和初始条件给定。这种展开的完备性由斯图姆刘维尔定理保证。特别地，对于 $l=0$ 的情况，可以验证 $\displaystyle j_0(x)=\frac{\sin x}{x},\ n_0(x)=-\frac{\cos x}{x}$，又因为 $Y_0^0=1$ ，此时球汉克尔函数对应的解就是\displaystyle u = \frac{e^{\plusmn\mathrm{i}kr}}{r}这个最常见的形式。

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参考：

• 通过亥姆霍兹方程是如何推导出球面波表达式的？ - 知乎
• 用到的部分 Katex语法
  • $\displaystyle$ $\displaystyle \sum_{x=0}^{100}x$
  • $\mathrm{d}$ $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$
  • $\left( 1 + \frac{a}{b} \right)$ $\displaystyle \left( 1 + \frac{a}{b} \right)$
  • $\plusmn$ \plusmn
  • $\cdot$ $\cdot$
  • $\varPhi$ \varPhi
  • $\text{\o}$ \text{\o}
  • $\begin{aligned} a & = b +c \\ &= d \end{aligned}$ $\displaystyle \begin{aligned} a & = b +c \\ &= d \end{aligned}$